Wahlverfahren
Die Mathematik der doppelten Gerechtigkeit
Für ein Zuteilungsproblem, bei dem zwei konkurrierende Forderungen zugleich zu erfüllen sind, gibt es eine algorithmische Lösung. Sie ist so überzeugend, dass sie – unter anderem – für die Besetzung des Zürcher Gemeinderats praktiziert wird.
Was Parteien- und Regionalproporz angeht, können wir von unseren Schweizer Nachbarn noch eine ganze Menge lernen. Die allerdings haben bei einem deutschen und einem französischen Mathematiker gelernt.
In manchen Dingen sind die Schweizer, entgegen ihrem Ruf, erstaunlich schnell. Bereits neun Monate nach einer Wahl im März 2002 gab das Schweizerische Bundesgericht der Beschwerde eines Bürgers statt, der durch das damals geltende Wahlsystem das Prinzip der Gleichheit aller Wählerstimmen verletzt sah. Dagegen brütet das deutsche Bundesverfassungsgericht immer noch über den Beschwerden gegen die Bundestagswahl von 2002!
Der Beschwerdeführer hatte geltend gemacht, dass seine Stimme, die er für eine kleine Partei abgegeben hatte, von vornherein wertlos war, denn in dem Stadtbezirk von Zürich, in dem er wohnte, würden für diese Partei nie so viele Stimmen zusammenkommen, dass es für einen Sitz im Zürcher Stadtrat reichte, im gesamten Stadtgebiet aber sehr wohl. Wenn also nicht bezirksweise, sondern stadtübergreifend die Stimmen ausgezählt und die Sitze zugeteilt würden, würde auch seine Stimme zählen. Dass sie bislang unter den Tisch fiel, war also keineswegs unvermeidlich.
Das sahen auch die Bundesrichter so und trugen dem Gesetzgeber auf, Abhilfe zu schaffen. Aber die war nicht einfach; denn man legte Wert darauf, dass im Stadtrat nicht nur die Parteien proportional zu ihren Stimmenzahlen, sondern auch die Bezirke proportional zu ihrer Größe vertreten sein sollten.
Auf der Suche nach einer Lösung wurde Christian Schuhmacher, Leiter des zuständigen Gesetzgebungsdienstes, ausgerechnet in einer populärwissenschaftlichen Zeitschrift fündig: Michel Balinski von der École Polytechnique in Paris hatte in "Spektrum der Wissenschaft" (ursprünglich in deren französischer Schwesterzeitschrift "Pour la Science") eine theoretische Lösung des Problems präsentiert: Wenn die Mexikaner rechtzeitig einen Mathematiker gefragt hätten, dann hätten sie sich viel Kopfzerbrechen und viel Streit um die Zusammensetzung ihres Parlaments ersparen können. Sein Augsburger Kollege Friedrich Pukelsheim hatte Balinskis Verfahren weiter ausgearbeitet und in ein Computerprogramm umgesetzt. Und siehe da: Auf Schuhmachers Anfrage konnte Pukelsheim eine Lösung aus der Schublade ziehen, die nur noch den lokalen Gegebenheiten angepasst werden musste.
Der Vorschlag passierte im Eiltempo die zuständigen Gremien, wurde in ein Gesetz gegossen und kam alsbald zur Anwendung: Am 12. Februar 2006 wurde der Zürcher Stadtrat erstmals nach dem "Neuen Zürcher Zuteilungsverfahren" gewählt. Am 15. April dieses Jahres folgt der Kantonsrat des Kantons Zürich; weitere Kantone erwägen sich anzuschließen.
Dass Mathematik auf dermaßen elegante Weise Frieden stiften kann, ist ein – leider – ziemlich seltenes Vergnügen. Wie kam es, dass Politiker entgegen ihren sonstigen Gewohnheiten eine wissenschaftliche Methode so bereitwillig übernahmen? Offensichtlich hat sie die Tatsache überzeugt, dass das Verfahren jeder Anfechtung standhält. Dass eine Partei einer anderen einen Sitz streitig macht mit der Begründung, auf diese Weise komme man dem Ideal der doppelt-proportionalen Repräsentation näher, kann nachweislich nicht vorkommen. Auch umfangreichere Ringtäusche zwischen Parteien und Bezirken bringen in dieser Hinsicht nichts ein.
So ist zumindest auf diesem Feld die Vision des Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz erfüllt worden: Mit zunehmendem Fortschritt der Mathematik – zu dem Leibniz selbst Wesentliches beigetragen hatte – würde die gerechte Lösung eines Streits nicht mehr durch das Ermessen eines Richters gefunden, sondern schlicht ausgerechnet werden.


Michel Balinski ist Professor im Institut für Ökonometrie an der École Polytechnique in Paris. Friedrich Pukelsheim ist Professor für Mathematik an der Universität Augsburg.
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1. Die Rolle der Wahlbeteiligung
04.04.2007, Ruedi Marti, CH-4144 ArlesheimNützlich wäre noch die Bemerkung gewesen, dass die scheinbaren Paradoxien des Verfahrens (dass zum Beispiel eine Partei in einem Wahlkreis für 1025 Stimmen drei Sitze erhält, eine andere Partei in einem anderen Wahlkreis für 1642 Stimmen aber nur zwei Sitze) vor allem damit zu tun haben, dass das Stimmverhalten in den einzelnen Wahlkreisen recht unterschiedlich ist.
Aus den vorliegenden Zahlen aus Zürich lässt sich zum Beispiel schliessen, dass die Wahlbeteiligung im Kreis 12 nur knapp halb so gross war wie im Wahlkreis 7-8.
Bei einigermassen einheitlicher Wahlbeteiligung in den verschiedenen Wahlkreisen ergäben sich wesentlich weniger Probleme (und scheinbare Paradoxien) bei der möglichst gerechten doppelt proportionalen Zuteilung.
Ein Anreiz zur eigenen Beteiligung an der Wahl bleibt jedenfalls: Es sind nur die an der Wahl Teilnehmenden, welche über die parteiliche Zusammensetzung des Gemeindeparlaments der Stadt Zürich bestimmen.
Also: Wählerinnen und Wähler, geht an die Urne !
2. Mathematik-Feindlichkeit im Spektrum
16.04.2007, Markus Enz, CH-4126 BettingenIst es wirklich unzumutbar zu beschreiben, von welchem Zweig der mathematischen Forschung die Rede ist, welche Sätze bewiesen worden sind, um die Anwendung zu ermöglichen, oder mit welchen Methoden der Beweis erbracht worden ist?
Dasselbe ist bei der Beschreibung neuer Entwicklungen in der theoretischen Physik oder Kosmologie zu beobachten. Das Objekt einer Theorie ist ein Modell, welches z. B. mit einer Hamilton-Funktion beschrieben werden kann. Oft werden Näherungen verwendet, um das Resultat zu erreichen, oder man transformiert das Problem in einen anderen mathematischen Raum. Das müsste doch einer verständlichen Beschreibung zugänglich sein. Oft kann die Essenz der Theorie an einem einfachen Beispiel wie dem harmonischen Oszillator erläutert werden. Aber im Spektrum sucht man vergeblich nach solchen Erläuterungen.
Regelmässige Lektüre des Spektrums hat mein Verständnis über Molekularbiologie, Genetik oder deren medizinischen Anwendung vermutlich auf „Vordiplom-Niveau“ gebracht. Aber ich bezweifle, dass die Leser im Bereich der Mathematik oder Physik durch die Lektüre des Spektrums auch nur annähernd ein Verständnis zum Beispiel der Quantenmechanik erreichen können, weil der Kern für dieses Verständnis systematisch ausgeblendet wird. Die nebulösen Umschreibungen, mit denen die Leser geschont werden, lassen sich vom Laien kaum von pseudo-wissenschaftlichen Texten unterscheiden.
Da bewundere ich die Begründer des modernen Schulwesens, welche vor 150 Jahren die Infinitesimalrechnung als Fundament des Weltverständnisses ins Gymnasialkurrikulum gebracht haben. Müsste es sich das Spektrum nicht auch zur Aufgabe machen, solches Wissen wach zu halten, durch Beschreibung der Anwendungen?
3. Leserbrief des Herrn Enz und Ihre Antwort
17.04.2007, Dr. Dirk Schlei, Köln4. Gebt uns härteren Stoff!
20.04.2007, Dr. Roland Philipp Hofmann, OstfildernEs müssen nicht unbedingt Formeln sein, auch wenn ich persönlich finde, eine Formel sagt mehr als tausend Worte und tausend mal so viel wie tausend bunte ganzseitige Bilder "in künstlerischer Darstellung". Viele Sachverhalte, gerade der Physik und Mathematik, lassen sich mit Sprach-Bildern sehr gut klar machen. Dafür gibt es im Spektrum ja oft sehr gute Beispiele, beispielsweise in den Mathematischen und Physikalischen Unterhaltungen. Eine ähnliche Darstellungsweise würde ich mir in den "ernsteren" (warum eigentlich?) Fachartikeln auch öfter mal wünschen!